Андрей Достоевский родился 3 апреля 1863 года в семье младшего брата Ф.М. Достоевского. С великим писателем племянник встречался всего дважды. Впервые – когда ему было два года, а затем в тринадцать лет.
В 1888 году Андрей Андреевич окончил историко-филологический факультет Петербургского университета, и его карьера стремительно пошла в гору. Достоевский начал работать в Центральном статистическом комитете Министерства внутренних дел, где занимался подготовкой к грядущей Всероссийской переписи населения.