Андрей Скопинцев является воспитанником хоккейного клуба «Кристалл» из города Электросталь.
С 1989 по 1995 года играл за московские «Крылья Советов» Спустя два года хоккеист был выбран клубом «Тампа Бэй Лайтнинг» под общим 153-м номером на Драфте НХЛ и дебютировал в НХЛ в матче против «Анахайм Майти Дакс», забросив первую шайбу. С 1998 по 2001 года Скопинцев в основном играл за клубы «Тампа Бэй Лайтнинг», «Кливленд Ламберджекс», «Детройт Вайперз», «Атланта Трэшерз» и «Орландо Солар Беарз».